Дать определение минора и алгебраического дополнения элемента. Как вычислить определитель (детерминант) матрицы? Минор и алгебраическое дополнение
Без преобразования матрицы, определитель легко посчитать только для матриц размером 2×2 и 3×3. Это делается по формулам:
Для матрицы
определитель равен:
Для матрицы
определитель равен:
a11*(a22*a33-a23*a32)-a12*(a21*a33-a23*a31)+a13*(a21*a32-a22*a31)
Расчёты для матриц размером 4×4 и выше затруднительны, поэтому их нужно преобразовывать в соответствии со свойствами определителя. Нужно стремиться получить матрицу, в которой все значения кроме одного любого столбца или любой строки равны нулю. Пример такой матрицы:
Для неё определитель равен:
A12*(a21*(a33*a44-a34*a43)-a23*(a31*a44-a34*a41)+a24*(a31*a43-a33*a41))
Обратите внимание, что
a21*(a33*a44-a34*a43)-a23*(a31*a44-a34*a41)+a24*(a31*a43-a33*a41)
это вычисление детерминанта матрицы, полученой вычетом строки и столбца, на пересечении которых находиться единственное не нулевое числов строки/столбца, по которому мы разлагаем матрицу:
И полученное значение мы умножаем на то самое число, из "нулевого" столбца / строки, при этом число может быть умножено на -1 (все подробности ниже).
Если привести матрицу к треугольному виду, то её определитель вычисляется как произведение цифр по диагонали. Например, для матрицы
Определитель равен:
Аналогично следует поступать с матрицами 5×5, 6×6 и другими больших размерностей.
Преобразования матриц нужно выполнять в соответствии со свойствами определителя. Но прежде чем перейти к практике по вычислению определителя для матриц 4×4, давайте вернёмся к матрицам 3×3 и подробно рассмотрим, как вычисляется определитель для них.
Минор
Определитель матрицы не очень прост для понимания, поскольку в его понятии присутствует рекурсия: определитель матрицы состоит из нескольких элементов, в том числе из определителя (других) матриц.
Чтобы не застрять на этом, давайте прямо сейчас (временно) примем, что определитель матрицы
вычисляется так:
Ещё разберёмся в условных обозначения и в таких понятиях как минор и алгебраическое дополнение .
Буквой i мы обозначаем порядковый номер стоки, буквой j - порядковый номер столбца.
a ij означает элемент матрицы (цифру) на пересечении строки i и столбца j.
Представим себе матрицу, которая получена из исходной удалением строки i и столбца j. Определитель новой матрицы, которая получена из исходной удалением строки i и столбца j, называется минором M ij элемента a ij .
Проиллюстрируем сказанное. Предположим, дана матрица
Тогда для определения минора M 11 элемента a 11 нам нужно составить новую матрицу, которая получается из исходной удалением первой строки и первого столбца:
И вычислить для неё определитель: 2*1 – (-4)*0 = 2
Для определения минора M 22 элемента a 22 нам нужно составить новую матрицу, которая получается из исходной удалением второй строки и второго столбца:
И вычислить для неё определитель: 1*1 -3*3 = -8
Алгебраическое дополнение
Алгебраическим дополнением А ij для элемента a ij называется минор M ij этого элемента, взятый со знаком «+», если сумма индексов строки и столбца (i + j), на пересечении которых стоит этот элемент, чётная, и со знаком «-», если сумма индексов нечётная.
Таким образом,
Для матрицы из предыдущего примера
А 11 = (-1) (1+1) * (2*1 – (-4)*0) = 2
А 22 = (-1) (2+2) * (1*1 -3*3) = -8
Вычисление определителя для матриц
Определителем порядка n, соответствующим матрице А, называется число, обозначаемое det A и вычисляемое по формуле:
В этой формуле нам всё уже знакомо, давайте теперь посчитаем определитель матрицы для
Каков бы ни был номер строки i=1,2,…, n или столбца j = 1, 2,…, n определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов этой строки или этого столбца на их алгебраические дополнения, т. е.
Т.е. детерминант можно вычислить по любому столбцу или по любой строке.
Чтобы убедиться в этом, вычислим определитель для матрицы из последнего примера по второму столбцу
Как видим, результат идентичный и для этой матрицы определитель всегда будет -52 не зависимо от того, по какой строке или по какому столбцу мы его будем считать.
Свойства определителя матриц
- Строки и столбцы определителя равноправны, т. е. величина определителя не изменится, если поменять местами его строки и столбцы с сохранением порядка их следования. Эта операция называется транспонированием определителя. В соответствии со сформулированным свойством det A = det AT.
- При перестановке местами двух строк (или двух столбцов) определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный.
- Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю.
- Умножение всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя на число λ равносильно умножению определителя на число λ.
- Если все элементы какой-либо строки (или какого-либо столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
- Если элементы двух строк (или двух столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
- Если к элементам некоторой строки (или некоторого столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца), умноженные на произвольный множитель λ, то величина определителя не изменится.
- Сумма произведений элементов какой-либо строки (какого-либо столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов любой другой строки (любого другого столбца) равна нулю.
- Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых a ij = b j + c j то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-й, такие же, как и в заданном определителе, i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов b j , а в другом — из элементов c j . Аналогичное свойство справедливо и для столбцов определителя.
- Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: det (А * В) = det A * det B.
Для вычисления определителя любого порядка можно применять метод последовательного понижения порядка определителя. Для этого пользуются правилом разложения определителя по элементам строки или столбца. Еще один способ вычисления определителей заключается в том, чтобы с помощью элементарных преобразований со строками (или столбцами), прежде всего в соответствии со свойствами 4 и 7 определителей, привести определитель к виду, когда под главной диагональю определителя (определяемой так же, как и для квадратных матриц) все элементы равны нулю. Тогда определитель равен произведению элементов, расположенных на главной диагонали.
При вычислении определителя последовательным понижением порядка для уменьшения объема вычислительной работы целесообразно с помощью свойства 7 определителей добиться обнуления части элементов какой-либо строки или какого-либо столбца определителя, что уменьшит число вычисляемых алгебраических дополнений.
Приведение матрицы к треугольному виду, преобразование матрицы, облегчающее вычисление определителя
Показанные ниже методы нецелесообразно использовать для матриц 3×3, но я предлагаю рассмотреть суть методов на простом примере. Воспользуемся матрицей, для которой мы уже считали определитель — нам будет проще проверить правильность вычислений:
Используя 7-е свойство определителя, вычтем из второй строки третью, умноженную на 2:
из третьей строки вычтем соответствующие элементы первой строки определителя, умноженные на 3:
Так как элементы определителя, расположенные под его главной диагональю, равны 0, то, следовательно, определитесь равен произведению элементов, расположенных на главной диагонали:
1*2*(-26) = -52.
Как видим, ответ совпал с полученными ранее.
Давайте вспомним формулу определителя матрицы:
Детерминант — это сумма алгебраических дополнений, умноженная на члены одной из строк или одного из столбцов.
Если в результате преобразований мы сделаем так, что одна из строк (или столбец) будет состоять полностью из нулей кроме одной позиции, то нам не нужно будет считать все алгебраические дополнения, поскольку они заведомо будут равны нулю. Как и предыдущий метод, этот целесообразно применять для матриц больших размеров.
Покажем пример на той же самой матрице:
Замечаем, что второй столбец определителя уже содержит один нулевой элемент. Прибавляем к элементам второй строки элементы первой строки, умноженные на -1. Получим:
Вычислим определитель по второму столбцу. Нам нужно посчитать только одно алгебраическое дополнение, поскольку остальные заведомо сводятся к нулю:
Вычисление определителя для матриц 4×4, 5×5 и больших размерностей
Чтобы избежать слишком больших вычислений для матриц больших размеров следует делать преобразования, описанные выше. Приведём пару примеров.
Вычислить определитесь матрицы
Р е ш е н и е. Используя 7-е свойство определителя, вычтем из второй строки третью, из четвёртой строки — соответствующие элементы первой строки определителя, умноженные соответственно на 3, 4, 5. Эти действия сокращённо будем обозначать так: (2) — (1) * 3; (3) — (1) * 4; (4) — (1) * 5. Получим:
Выполним действия
определителя по элементам строки или столбца
Дальнейшие свойства связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения
Определение. Минором элемента называется определитель, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания i -ой стоки и j -го столбца, на пересечении которых находится этот элемент. Минор элемента определителяn -го порядка имеет порядок (n - 1). Будем его обозначать через .
Пример 1.
Пусть
,
тогда
.
Этот минор получается из A путём вычёркивания второй строки и третьего столбца.
Определение.
Алгебраическим
дополнением
элемента
называется соответствующий минор,
умноженный нат.е
,
где
i
–номер строки и
j
-столбца, на пересечении которых находится
данный элемент.
V ІІІ. (Разложение определителя по элементам некоторой строки). Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки на соответствующие им алгебраические дополнения.
.
Пример 2. Пусть , тогда
.
Пример 3. Найдём определитель матрицы , разложив его по элементам первой строки.
Формально эта теорема и другие свойства определителей применимы пока только для определителей матриц не выше третьего порядка, поскольку другие определители мы не рассматривали. Следующее определение позволит распространить эти свойства на определители любого порядка.
Определение. Определителем матрицы A n-го порядка называется число, вычисленное с помощью последовательного применения теоремы о разложении и других свойств определителей .
Можно проверить, что результат вычислений не зависит от того, в какой последовательности и для каких строк и столбцов применяются вышеуказанные свойства. Определитель с помощью этого определения находится однозначно.
Хотя данное определение и не содержит явной формулы для нахождения определителя, оно позволяет находить его путём сведения к определителям матриц меньшего порядка. Такие определения называют рекуррентными.
Пример 4. Вычислить определитель: .
Хотя теорему о разложении можно применять к любой строке или столбцу данной матрицы, меньше вычислений получится при разложении по столбцу, содержащему как можно больше нулей.
Поскольку у матрицы нет нулевых элементов, то получим их с помощью свойства 7). Умножим первую строку последовательно на числа (–5), (–3) и (–2) и прибавим её ко 2-ой, 3-ей и 4-ой строкам и получим:
Разложим получившийся определитель по первому столбцу и получим:
(вынесем из 1-ой
строки (–4), из 2-ой - (–2), из 3-ей - (–1)
согласно свойству 4)
(так как определитель содержит два пропорциональных столбца).
§ 1.3. Некоторые виды матриц и их определители
Определение. Квадратная матрица, у которой ниже или выше главной диагонали стоят нулевые элементы (=0 при i j , или =0 при i j ) называется треугольной .
Их схематичное
строение соответственно имеет вид:
или
.
Здесь 0 – означает нулевые элементы, а – произвольные элементы.
Теорема . Определитель квадратной треугольной матрицы равен произведению её элементов, стоящих на главной диагонали, т.е.
.
Например:
.
Определение. Квадратная матрица, у которой вне главной диагонали стоят нулевые элементы, называется диагональной .
Её схематический
вид:
Диагональная матрица, у которой на главной диагонали стоят только единичные элементы называется единичной матрицей. Она обозначается через:
Определитель единичной матрицы равен 1, т.е. E=1.
Миноры матрицы
Пусть дана квадратная матрица А, n - ого порядка. Минором некоторого элемента а ij , определителя матрицы n - ого порядка называется определитель (n - 1) - ого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент а ij . Обозначается М ij .
Рассмотрим на примере определителя матрицы 3 - его порядка:
Тогда согласно определению минора , минором М 12 , соответствующим элементу а 12 , будет определитель :
При этом, с помощью миноров можно облегчать задачу вычисления определителя матрицы . Надо разложить определитель матрицы по некоторой строке и тогда определитель будет равен сумме всех элементов этой строки на их миноры. Разложение определителя матрицы 3 - его порядка будет выглядеть так:
Знак перед произведением равен (-1) n , где n = i + j.
Алгебраические дополнения:
Алгебраическим дополнением элемента а ij называется его минор , взятый со знаком "+", если сумма (i + j) четное число, и со знаком "-", если эта сумма нечетное число. Обозначается А ij . А ij = (-1) i+j × М ij .
Тогда можно переформулировать изложенное выше свойство. Определитель матрицы равен сумме произведение элементов некторого ряда (строки или столбца) матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения . Пример:
4. Обратная матрица и её вычисление.
Пусть А - квадратная матрица n - ого порядка.
Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель матрицы (Δ = det A) не равен нулю (Δ = det A ≠ 0). В противном случае (Δ = 0) матрица А называется вырожденной.
Матрицей , союзной к матрице А, называется матрица
Где А ij - алгебраическое дополнение элемента а ij данной матрицы (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя матрицы ).
Матрица А -1 называется обратной матрице А, если выполняется условие: А × А -1 = А -1 × А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица А -1 имеет те же размеры, что и матрица А.
Обратная матрица
Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию: X × A = A × X = E , где Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной матрицей к матрице А и обозначается А -1 . Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу и притом только одну, т. е. для того чтобы квадратная матрица A имела обратную матрицу , необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.
Для получения обратной матрицы используют формулу:
Где М ji дополнительный минор элемента а ji матрицы А.
5. Ранг матрицы. Вычисление ранга с помощью элементарных преобразований.
Рассмотрим
прямоугольную матрицу mхn. Выделим в
этой матрице какие-нибудь k строк и k
столбцов, 1 £ k £ min (m, n) . Из элементов,
стоящих на пересечении выделенных строк
и столбцов, составим определитель k-го
порядка. Все такие определители называются
минорами матрицы. Например, для матрицы
можно
составить миноры второго порядка
и
миноры первого порядка 1, 0, -1, 2, 4, 3.
Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Обозначают ранг матрицы r (A).
В приведенном примере ранг матрицы равен двум, так как, например, минор
Ранг матрицы удобно вычислять методом элементарных преобразований. К элементарным преобразованиям относят следующие:
1) перестановки строк (столбцов);
2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.
Эти преобразования не меняют ранга матрицы, так как известно, что 1) при перестановке строк определитель меняет знак и, если он не был равен нулю, то уже и не станет; 2) при умножении строки определителя на число, не равное нулю, определитель умножается на это число; 3) третье элементарное преобразование вообще не изменяет определитель. Таким образом, производя над матрицей элементарные преобразования, можно получить матрицу, для которой легко вычислить ранг ее и, следовательно, исходной матрицы.
Определение. Матрица , полученная из матрицыпри помощи элементарных преобразований, называется эквивалентной и обозначаетсяА В .
Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.
С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление ее ранга не представляет труда.
Матрица называется ступенчатой если она имеет вид:
Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк , т.к. имеется минор -го порядка, не равный нулю:
.
Пример. Определить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.
Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк, т.е. .
МиноромM ij элемента a ij определителя n -го порядка называется определитель порядка (n-1 ), полученный из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, в которых находится этот элемент (i -ой строки и j -го столбца).
Алгебраическое дополнение элемента a ij задается выражением:
Определители порядка n >3 вычисляются с помощью теоремыо разложении определителя по элементам строки или столбца:
Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки или любого столбца на соответствующие этим элементам алгебраические дополнения, т.е.
Пример.
Вычислить определитель, разложив его по элементам строки или столбца:
Решение
1. Если в какой-нибудь одной строке или одном столбце присутствует только один элемент, отличный от нуля, то преобразовывать определитель нет необходимости. В противном случае, прежде чем применять теорему о разложении определителя, преобразуем его, используя следующее свойство: если к элементам строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель, то значение определителя не изменится.
Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 2 .
Из элементов столбца 4 вычитаем соответствующие элементы столбца 3 , умноженные на 2.
Разлагаем определитель по элементам третьей строки
2. Полученный определитель 3-го порядка можно вычислить по правилу треугольников или по правилу Саррюса (см выше). Однако элементы определителя являются числами довольно большими, поэтому разложим определитель, предварительно преобразовав его:
Из элементов второй строки вычитаем соответствующие элементы первой строки, умноженные на 3.
Из элементов первой строки вычитаем соответствующие элементы третьей строки.
К элементам строки 1 прибавляем соответствующие элементы строки 2
Определитель с нулевой строкой равен 0.
Итак, определители порядка n >3 вычисляются:
· преобразованием определителя к треугольному виду с помощью свойств определителей;
· разложением определителя по элементам сроки или столбца, тем самым понижая его порядок.
Ранг матрицы.
Ранг матрицы представляет собой важную числовую характеристику. Наиболее характерной задачей, требующей нахождения ранга матрицы, является проверка совместности системы линейных алгебраических уравнений.
Возьмем матрицу А
порядка p
xn
. Пусть k
– некоторое натуральное число, не превосходящее наименьшего из чисел p
и n
, то есть, 
Минором k-ого порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы порядка k xk , составленной из элементов матрицы А , которые находятся в заранее выбранных k строках и k столбцах, причем расположение элементов матрицы А сохраняется.
Рассмотрим матрицу:
Запишем несколько миноров первого порядка этой матрицы. К примеру, если мы выберем третью строку и второй столбец матрицы А , то нашему выбору соответствует минор первого порядка det(-4)=-4. Иными словами, для получения этого минора мы вычеркнули первую и вторую строки, а также первый, третий и четвертый столбцы из матрицы А , а из оставшегося элемента составили определитель.
Таким образом, минорами первого порядка матрицы являются сами элементы матрицы.
Покажем несколько миноров второго порядка. Выбираем две строки и два столбца. К примеру, возьмем первую и вторую строки, и третий и четвертый столбец. При таком выборе имеем минор второго порядка 
.
Другим минором второго порядка матрицы А
является минор 
Аналогично могут быть найдены миноры третьего порядка матрицы А . Так как в матрице А всего три строки, то выбираем их все. Если к этим строкам выбрать три первых столбца, то получим минор третьего порядка:
Другим минором третьего порядка является:
Для данной матрицы А миноров порядка выше третьего не существует, так как
Сколько же существует миноров k -ого порядка матрицы А порядка p xn ? Немало!
Число миноров порядка k может быть вычислено по формуле:
Рангом матрицы называется наивысший порядок минора матрицы, отличного от нуля.
Ранг матрицы А обозначают как rang(A). Из определений ранга матрицы и минора матрицы можно заключить, что ранг нулевой матрицы равен нулю, а ранг ненулевой матрицы не меньше единицы.
Итак, первым методом нахождения ранга матрицы является метод перебора миноров . Этот способ основан на определении ранга матрицы.
Пусть нам требуется найти ранг матрицы А порядка p xn .
Если есть хотя бы один элемент матрицы, отличный от нуля, то ранг матрицы как минимум равен единице (так как есть минор первого порядка, не равный нулю).
Далее перебираем миноры второго порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы равен единице. Если существует хотя бы один ненулевой минор второго порядка, то переходим к перебору миноров третьего порядка, а ранг матрицы как минимум равен двум.
Аналогично, если все миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум. Если существует хотя бы один минор третьего порядка, отличный от нуля, то ранг матрицы как минимум равен трем, а мы преступаем к перебору миноров четвертого порядка.
Отметим, что ранг матрицы не может превышать наименьшего из чисел p и n .
Пример.
Найдите ранг матрицы 
.
Решение.
1. Так как матрица ненулевая, то ее ранг не меньше единицы.
2. Один из миноров второго порядка 
отличен от нуля, следовательно, ранг матрицы А
не меньше двух.
3. Миноров третьего порядка 
Все миноры третьего порядка равны нулю. Поэтому, ранг матрицы равен двум.
rang(A) = 2 .
Существуют другие методы нахождения ранга матрицы, которые позволяют получить результат при меньшей вычислительной работе.
Одним из таких методов является метод окаймляющих миноров . При использовании этого метода вычисления несколько сокращаются, и все же они довольно громоздки.
Существуют еще один способ нахождения ранга матрицы - с помощью элементарных преобразований (метод Гаусса).
Следующие преобразования матрицы называют элементарными :
· перестановка местами строк (или столбцов) матрицы;
· умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k , отличное от нуля;
· прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца) матрицы, умноженных на произвольное число k .
Матрица В называется эквивалентной матрице А , если В получена из А с помощью конечного числа элементарных преобразований. Эквивалентность матриц обозначается символом « ~ » , то есть, записывается A ~ B.
Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований матрицы основано на утверждении: если матрица В получена из матрицы А помощью конечного числа элементарных преобразований, то rang(A) = rang(B) , т.е. ранги эквивалентных матриц равны.
Суть метода элементарных преобразований заключается в приведении матрицы, ранг которой нам требуется найти, к трапециевидной (в частном случае к верхней треугольной) с помощью элементарных преобразований.
Ранг матриц такого вида очень легко найти. Он равен количеству строк, содержащих хотя бы один ненулевой элемент. А так как ранг матрицы при проведении элементарных преобразований не изменяется, то полученное значение будет рангом исходной матрицы.
Пример.
Методом элементарных преобразований найдите ранг матрицы
.
Решение.
1. Поменяем местами первую и вторую строки матрицы А , так как элемент a 11 =0 , а элемент a 21 отличен от нуля:
~ 
В полученной матрице элемент равен единице. В противном случае нужно было умножить элементы первой строки на . Сделаем все элементы первого столбца, кроме первого, нулевыми. Во второй строке ноль уже есть, к третьей строке прибавим первую, умноженную на 2:
Элемент в полученной матрице отличен от нуля. Умножим элементы второй строки на 
Второй столбец полученной матрицы имеет нужный вид, так как элемент уже равен нулю.
Так как 
, а 
, то поменяем местами третий и четвертый столбцы и умножим третью строку полученной матрицы на :
Исходная матрица приведена к трапециевидной, ее ранг равен количеству строк, содержащих хотя бы один ненулевой элемент. Таких строк три, следовательно ранг исходной матрицы равен трем.rang(A)=3.
Обратная матрица.
Пусть имеем матрицу А .
Матрицей, обратной матрице А , называется матрица A -1 такая, что A -1 A = A A -1 = E .
Обратная матрица может существовать только для квадратной матрицы. Причем сама является той же размерности, что и исходная матрица.
Для того, чтобы квадратная матрица имела обратную, она должна быть невырожденной (т.е. Δ ≠0 ). Это условие является и достаточным для существования A -1 к матрице А . Итак, всякая невырожденная матрица имеет обратную, и, притом, единственную.
Алгоритм нахождения обратной матрицы на примере матрицы А :
1. Находим определитель матрицы. Если Δ ≠0 , то матрица A -1 существует.
2. Составим матрицу В алгебраических дополнений элементов исходной матрицы А . Т.е. в матрице В элементом i - ой строки и j - го столбца будет алгебраическое дополнение A ij элемента a ij исходной матрицы.
3. Транспонируем матрицу В и получим B t .
4. Найдем обратную матрицу, умножив полученную матрицу B t на число .
Пример.
Для данной матрицы найти обратную и выполнить проверку:
Решение
Воспользуемся ранее описанным алгоритмом нахождения обратной матрицы.
1. Для выяснения существования обратной матрицы, необходимо вычислить определитель данной матрицы. Воспользуемся правилом треугольников:
Матрица является невырожденной, следовательно, она обратима.
Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы:
Из найденных алгебраических дополнений составляется матрица:
и транспонируется 
Разделив каждый элемент полученной матрицы на определитель, получим матрицу, обратную к исходной:
Проверка осуществляется умножением полученной матрицы на исходную. Если обратная матрица найдена правильно, в результате умножения получится единичная матрица.
Для нахождения обратной матрицы для данной, можно воспользоваться методом Гаусса (конечно, предварительно необходимо убедиться, что матрица обратима), рассмотрение которого оставляю для самостоятельной работы.
Минором любого элемента определителя называется, определитель второго
порядка, полученный вычеркиванием из данного определителя строки и столбца, содержащих этот элемент. Так минор для элемента
для элемента :
Алгебраическим дополнением любого элемента определителя называют минор этого элемента взятый с множителем , где i – номер строки элемента, j – номер столбца. Таким образом, алгебраическое дополнение элемента :
Пример. Найти алгебраические дополнения 
для элементов определителя.
Теорема . Определитель равен сумме произведений элементов любого его столбца или строки на их алгебраические дополнения.
Другими словами, имеют место следующие равенства для определителя .
Доказательство этих равенств состоит из замены алгебраических дополнений их выражениями через элементы определителя, при этом получим выражение (3). Предлагается это выполнить самостоятельно. Замена определителя по одной из шести формул называется разложением определителя по элементам соответствующего столбца или строки. Эти разложения применяют для вычисления определителей.
Пример. Вычислить определитель, разложив его по элементам второго столбца.
Используя теорему о разложении определителя третьего порядка по элементам строки или столбца, можно доказать справедливость свойств 1-8 для определителей третьего порядка. Предполагается проверить справедливость этого утверждения. Свойства определителей и теорема о разложении определителя по элементам столбца или строки позволяют упростить вычисления определителей.
Пример . Вычислить определитель.
Вычислим общий множитель «2» элементов второй строки, а затем такой же общий множитель элементов третьего столбца.
Прибавим элементы первой строки к соответствующим элементам второй строки, затем третьей строки.
Разложим определитель по элементам первого столбца.
